‘수와 숫자는 어떻게 다른가?’
‘계산과 연산의 차이점은 무엇인가?’
‘삼각형은 왜 가장 기본이 되는 도형인가?’
‘분수와 유리수의 차이는 무엇인가?’
‘분수의 곱셈은 분자끼리 그리고 분모끼리 곱하면서 덧셈은 왜 그렇지 않은가?’
이 같은 물음에 선뜻 제대로 대답할 수 있는 선생님은 많지 않습니다. 초등학교 수학 문제 풀이가 중등수학이나 대학수학에 비해 간단하다고 하여 그 속에 담긴 수학적 의미까지 그런 것은 아닙니다. 선생님들은 초등학교 수학을 깊이 이해하고 있어야 합니다. 뿐만 아니라 학습자와 끊임없이 상호작용해야 합니다.
책머리에
덧셈/뺄셈과 곱셈/나눗셈을 모를 리 없다. 아무리 수학이 어렵다 하더라도 그까짓 계산쯤이야 할 것이다. 하지만 답을 구할 수 있다고 하여 계산의 의미까지 이해한다고 말할 수 있을까?
예를 들어보자. 2+3과 1/2+1/3이라는 두 식에는 똑같은 덧셈 기호가 들어 있다. 여기에 쓰인 ‘+’의 의미는 과연 동일할까? 그렇지 않다. 같은 기호라도 연산의 대상에 따라 그 의미는 물론이고 계산 절차까지 다르다. 그래서 이 책은 모두 5개의 장으로 구성되었다.
1장은 학교에서 처음 배우는 자연수의 사칙연산을 다룬다. 얼핏 단순해 보이는 네 가지 기호 ‘+, -, ×, ÷’가 전혀 예상하지 못했던 여러 가지 상황을 나타낸다는 게 믿기지 않을지 모르겠다. 그 하나하나 속에 담긴 비밀스런 패턴을 발견할 수 있도록 안내한다. 그렇게 2장은 정수, 3장은 분수, 4장은 무리수, 5장은 허수의 세계로 확장된다.
1장과 3장은 초등학교, 2장과 4장은 중학교, 5장은 고등학교 수학에 해당하는 내용이다. 마지막 5장은 사실 허수의 연산이라기보다는 허수가 무엇인지를 탐색하는 내용에 중점을 두었다. 복소평면이 어떻게 만들어졌는지, 그전에 알고 있던 좌표평면과는 어떤 차이가 있는지 자못 흥미로울 것이다. 수학에서의 창의적 발상이 무엇인지를 보여주는 깜찍한 사례이다.
수학은 주로 수를 다루는 학문이므로, 계산을 수학의 기본이라고 여기는 뭇 사람들의 생각이 틀렸다고 부정할 수만은 없다. 하지만 나무에만 매달리면 숲을 볼 수 없다. 기계적인 반복 계산에 대한 지나친 강조는 오히려 수학적 능력을 억압하는 수단이 되고 만다. 보이지 않는 것을 볼 수 있어야 한다. 이 책을 통해 오늘날에 걸맞은 수학이 무엇인지 알 수 있다면 더할 나위 없겠다. 아무쪼록 독자들의 귓전에서 한 가닥 경보음이 울릴 수 있기를.
수학을 공부한 사람이라면 적어도 다음과 같은 질문에 답할 수 있어야 한다. "수학은 어떻게, 왜 만들어졌는가? 수학은 어디에, 어떻게 이용되는가?" 이 질문에 대한 답은 사람, 문화, 역사가 보이는 수학교실에서만 찾을 수 있을 것이다. 이제 우리의 수학 교육은 문제 풀이에 열중하는 기능적 수학만이 아니라 인문학적 소양으로서의 수학을 말해주어야 한다. 그것은 수학의 역사를 읽고 이해하는 데서 그 실마리를 발견할 수 있다.
수학에서 사람 냄새를 맡으려고 무던히 애쓰던 나는, 수학을 가르쳐야 하는 직업이었음에도 불구하고 단순과 반복을 거듭하는 이상한 사이비 수학 교육에 의해 철저히 외면당할 수밖에 없었다. 이러한 좌절의 시기에 모리스의 목소리가 들려왔다. 그의 목소리를 통해 수학은 내게 다가왔고 내가 수학에 다가갔다. 그래서 그 무엇이 되고 싶음을 느낄 수 있게 하였다. 이 책의 한국어 번역은 이렇게 이루어진 것이다. - 박영훈(옮긴이)
잃어버린 수학을 찾아서
12년 동안 수학을 배운다. 그렇게 긴 시간과 많은 노력을 들여 고생했건만, 그 내용이 실제 수학이라는 학문의 본질과는 거리가 멀다는 사실을 깨닫게 된다면 정말 허탈할 것이다. 하지만 사실이다. 일반인에게는 잘 알려져 있지 않지만, 대학의 수학과에서도 적지 않은 수포자가 나온다. 그들은 고등학교 때까지 수학을 잘한다고 부러움을 사던 학생들이다. 학문으로서의 수학이 그전까지 배운 수학과 너무 달라서 끝내 좌절하고 만 것이다.
문제는 학교 수학에 있다. 학교에서 가르치고 배우는 수학 지식의 대부분은 2천년 이전의 것으로 고리타분 그 자체이다. 새로운 내용은 미적분과 확률 정도인데, 그마저도 3,4백 년 전의 것이다. 음악으로 치면 고대 바빌로니아의 음악이나 기껏 비발디나 헨델 시대의 바로크 음악에 머무는 셈이다. 모차르트나 베토벤의 음악조차 만나지 못하는 것과 진배없다.
반드시 새로운 것을 가르쳐야 한다고 주장하는 것은 아니다. 비발디의 〈사계〉나 헨델의 〈오라토리오〉가 여전히 고전이듯이, 유클리드의 기하학과 8,9세기 아랍에서 유래한 대수학은 오늘날에도 유용하다. 문제는 이들 옛날 수학의 대부분이 회계나 토지 측량 같은 실용적인 필요에 의해 탄생했다는 점이다. 그래서 ‘이렇게 저렇게 따라 하면 답을 구할 수 있다’는 마치 요리책에 담긴 레시피를 알려주는 수준에 불과하다.
냉정하게 말하면 오늘의 학교 수학은 여전히 요리책 수준에 머물러 있다. 그러니 사람들이 수학 학습을 요리 레시피를 익히는 것쯤으로 인식하는 것은 지극히 당연하다. ‘이 공식에 대입하여 이렇게 식을 조작하면 답이 나온다’는 기계적인 문제 풀이를 수학이라고 생각하는 것이다. 그 결과 많은 시간을 들여 수학을 공부했건만 정작 수학이 무엇인지는 알지 못한다. 분수 계산은 할 수 있어도 분수가 유리수와 어떻게 다른지, 삼각형의 세 가지 합동조건은 줄줄 암송해도 그 의미가 무엇인지는 모른다. 나는 이를 ‘내비게이션 수학’이라고 규정한다. 내비게이션의 지시대로 운전해 정확하게 목적지에 도착했건만, 정작 어떤 길을 따라 운전했는지 알지 못하는 것과 같다.
물론 수학은 문제를 해결하는 학문이다. 표준적인 풀이 방식의 습득은 필요하다. 적용할 공식이나 따라야 할 절차를 찾아보는 것도 필요하다. 하지만 거기에 그쳐서는 안된다. 실제 수학 문제는 숫자를 대입하면 되는 공식이나 풀이가 유사한 문제를 찾아서 해결할 수 없는 경우가 더 많다.
문제가 무엇인지를 생각하는 것, 그것이 답이다. 누군가가 분류해놓은 문제의 유형에 주목하기보다는, 문제가 말하는 것이 무엇인지를 제대로 파악하고 생각해야 한다. 수학 지식의 의미를 파고드는 ‘수학적 사고’야말로 수학의 본질이고 핵심이다. 이제는 내비게이션 수학에서 탈피해야 할 때다. 내비게이션이 지시하는 대로 따라가다가 무심코 지나쳤던 길이 어떤 길이었는지 되돌아볼 수 있어야 한다. 도중에 왜 마을이 들어섰는지도 잠시 살피고, 전망 좋은 곳에 들러 멋진 경치를 감상하는 여유도 만끽하자.
‘잃어버린 수학을 찾아서’ 시리즈는 초등학교에 갓 입학하며 배우는 아라비아 숫자와 간단한 곱셈구구에서부터 미적분과 확률에 이르는 수학의 궤적을 새로운 패러다임으로 되짚어가는 야심 찬 기획물이다. 수학의 넓은 대지를 문명사적으로 종횡으로 누비며 수학의 본령에 다가가는 이 같은 시도는 국내에서는 물론 처음이거니와 해외에서도 사례를 찾기 어려울 것이다. 이 시리즈가 더 나은 가르침을 주고 싶은 교사들과 교과서 너머의 지식에 목말라 하는 학생들, 그리고 삶의 여정 속에서 수학 지식의 유용함을 믿는 신실한 이들에게 귀한 자양분이 되었으면 좋겠다. 부디 비틀스의 음악에서 베토벤의 선율을 발견할 수 있기를!
책머리에
0, 1, 2, 3, 4, … 아라비아 숫자는 우리가 태어나서 최초로 배우는 수학 기호이다. 숫자는 어떻게 탄생하였을까? 수와 숫자는 어떤 차이가 있을까? 이 책은 이런 질문에 답을 구하는 내용이다.
짝짓기라는 단순한 행위가 수 개념을 낳고, 마침내 아라비아 숫자의 탄생으로 이어졌다. 더욱 놀라운 것은 19세기에 인류가 무한을 헤아리게 된 원동력도 다름 아닌 이 짝짓기였다는 사실이다.
인간의 수 감각은 동물의 수 감각과 비교할 때 그리 뛰어나지 않다. 그런데도 거대한 도약을 통해 빛나는 문명을 일굴 수 있었던 것은 무엇 때문일까? 그 주춧돌의 하나가 바로 숫자였다. 숫자를 토대로 형성된 수 세기 능력이 인류를 문명사회로 이끈 드라마틱한 과정을 이 책에서 만나게 될 것이다.
이어지는 내용은 아라비아 숫자의 정치학이다. 우리가 일상적으로 아라비아 숫자를 사용하게 되기까지 동서양의 얽히고설킨 역사를 문명사적으로 반추해본다. 누구나 재미 있게 술술 읽을 수 있는 내용이다.
하지만 자연수에 대한 내용은 힘겨운 도전을 각오해야 할 것 같다. 특히 수학적 기호로 이루어진 페아노 공리는 매우 건조하고 딱딱하다. 쉽게 풀이하려 노력하였지만 넘기 어려운 장벽으로 느끼는 사람이 꽤 될 것이다. 설령 내용을 완벽히 이해하지 못하였다 하더라도 실망할 것은 없다. 수학이라는 학문의 실체를 실감하는 것만으로도 가치가 있기 때문이다.
고등학생이라면 ‘수학적 귀납법’에 중점을 둘 것을 권하고 싶다. 교과서나 참고서에서는 찾아보기 어려운 설명이 사고의 폭을 확장시켜줄 것이다. 그리하여 귀납이라는 이름에도 불구하고 연역적 추론의 한 형태라는 점을 파악할 수 있다면, 고등학교 수학의 진면목을 이해하는 데 큰 도움이 될 것이다.
마지막 에필로그는 형식에 걸맞지 않게 길이가 무척 길다. 수학사상 가장 위대한 발견의 하나인 칸토르의 무한 개념이 원시인들이 사용한 짝짓기에서 비롯되었다는 것은 얼마나 흥미로운가. 수학의 독창성이 무엇인지 감상할 수 있는 기회가 되었으면 좋겠다.
아무쪼록 이 책을 통해 그동안 무심코 사용하던 수와 숫자의 위력에 새롭게 눈뜨는 계기가 되길 기대한다.
이 책은 수학책이 아니다. 그리고 이 책은 역사책도 아니다. 수학에 관한 책이면서 역사에 관한 책이다. 이 책을 접하면서 조선시대의 양반을 풍자하면서도 놀이판의 흥을 잃지 않는 탈춤판의 분위기를 흠뻑 느낄 수 있었던 것은 아마도 베크만 박사의 박학다식하면서 애써 점잔을 빼지 않는 인간미를 보았기 때문이리라. 이 책에서 그는 방대한 자료를 무기로 시간과 공간을 넘나들며 종횡무진하는 활약상을 보여주었다. 잘난 체하던 철학자나 수학자들을 자신이 꾸며 놓은 탈춤판에 끌어들여 한바탕 탈춤을 추게 만들거나, 세계사의 한 획을 그었던 로마라는 거대한 제국을 아무리 애를 써도 도저히 빠져나올 수 없는 지옥의 불구덩이로 내쫓아 버리기도 하며, 하느님과 대화를 나눈다고 거드름을 피우며 인간을 무시하던 중세의 기독교인들을 가차 없이 난도질하며 화형에 처하기도 하였다. 그것도 작은 하나의 숫자 π를 가지고 말이다.
